忆李端教授

朱书尚

(2020年12月1日整理)

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恩师李端教授突然仙逝,令我等无比震惊与悲痛。点点滴滴的过往浮现脑海,我想得写些片段,一来寄托思念之情,二来宽慰关心李端教授及其家人的同行及朋友,更希望后辈学生能从李端教授的那里学到些他的精神。

写作断断续续,无心斟酌细节,或许前不搭后,言不及义,唯求真实而已。

一、我们都被他“骗”了

前日中午微信李端教授,咨询相关事宜,未回。晚饭时间收到回信:书尚,李老师走了。惊异万分,绝不能信。立即电话回去,师母接的电话,尚在医院,泣不成声,悲痛万分。

只所以无比震惊,是因为几天前的周末我们还在网上一起开学术会议。我主持了他的大会报告,发现他又讲了新的研究内容,虽然显得有些疲累,但思路清晰,回答提问干脆准确,如何可能在几天内至于此?

实际上我们都被他 “骗” 了。

他应当是年初查出肠癌。做了手术后,他群里把这个消息告诉了他的学生,并表达了自己的乐观,并嘱不足为外人道也。大约过了一两天我播他视频,他躺在床上,看上去很难受,但看得出他很高兴,特地跟我解释他的病情和治疗,嘱我不用担心。想到香港的医疗条件,以及他轻描淡写的病情,后来我真的以为他无事了。

大约到了七月份,根据他之前告诉我的疗程,应该治疗结束,所以还邀请他一起去粤北休息度假几天,换个环境和心情(当时我应该忘了限出入关),他表示倾向半年不出远门。前后又数次联系讨论其它事情,他都表现状态颇佳。有一次,他还特别告诉我拍了片子,癌细胞都没了,全好了。他不仅照常发圈,招收学生,处理日工作,还照样参加网上学术会议,应该还申请了RGC基金。特别是在写基金申请的过程中,还问了我一个之前我提到过的一个结论是否准确可靠。我因此还找了一篇相关论文标了相关结果给他看,他才放心。总之,所有一切表明他几乎完全没有问题。

可是今天再次致电师母,她告诉我了真实情况,老师其实病得很重很重,医疗方案选择也很艰难,他只是不想让我们知道担心而已。他的善意,乐观,坚强和忘我“欺骗”了我们。回想起来,其实他快速苍老的面容暗示他在说“谎”,只是强大的他没有让我们怀疑,或者我们根本不想怀疑而已。

二、初访中大的两顿饭

2001年,博士二年级开始,我导师汪寿阳教授邀请李端教授做我的博士合作导师,并推荐我去李老师处访问,跟李老师学习他刚发表不久的动态均值-方差分析方面的工作(下回细说)。我因此第一次得以近距离接触李端教授。

记得好像是国庆期间去的。初次出境访问,加之汪老师一再嘱咐各注意事项,比如交通安全等,因此既兴奋也紧张。记得当时我们一行几位同学(访问不同的地方)一起,从北京坐火车经广州转车到深圳,在罗湖上地铁就走散了,后来一组还下错了站,花了很长时间才找到彼此,行程甚是狼狈。当时香港给我的感觉主要是干净有序且房租很贵,深圳罗湖海关两侧真是两个不同的世界。我有些刘姥姥进大观园的感觉,激动而尴尬。对香港的教授也是充满了敬意,而又觉得距离相远。最后是还是李老师请我吃的两顿饭让我恢复了自在,并安下心来。

刚到香港的第一周某天中午,李老师单独请我去吃饭。记得从何善衡楼车库开车去的,上到了半山腰上的一个餐厅吃自助餐。当时教授单独请我吃饭,受宠若惊,紧张到忘了是哪个地方。后来多次访问港中文,吃遍了各个餐厅,但好像没有找到当年的地方。好像可以看到海,有可能是逸夫书院的那边的餐厅。去香港之前在国内好像只有一次吃自助的经历,最多还是处于那种“取满盘,吃不完”的水平。但是,初次到香港,当着教授的面我没敢胡乱来,只是观察学习如何吃自助。李老师每次取得少,我不好意思取多。他几次碰见熟人,起身打招呼,我以为他吃好了,要走了,我也站起来准备走。估计李老师看出了我没怎么吃过自助,吃得既量少又紧张,便笑着对我开玩笑说“你吃这么点,我们亏大了”。这话一出,我明白了,一改之前颓势,狠狠吃了一顿,愉快而回。

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后来,系里搞活动,年终聚餐之类的。李老师叫我一起去。系里安排了车子,先是开到海边还是湖边走路看风景,然后晚上到海边吃海鲜。其实,我之前很少吃过海鲜,所以对海鲜并不感兴趣,但是很高兴能参加这样的活动,如果没记错的话记得还见到了之前非常耳熟的国内运筹学前辈张连生教授、李训经教授和俞文鮆教授(这位前辈是否见到记忆不一定准确,大概率见到),他们其实都是很有个性的老复旦。我毕业后还到复旦管院的管科系工作,而管科系的一部分曾经与复旦的统计运筹系融合,与这几位老前辈非常相关。李老师也是复旦的本科,所以我觉得我跟复旦还是挺有缘的。

后来别人告诉我这次活动访问学者需要报名并缴费才能参加。我其实是一学生,一般不会参与这种活动。但很显然,李老师无差别地把我当成了高级别的访问学者,私下帮我交了钱,并且没有告诉我,只是让我参加活动。我是湖南湘西人,那时候几乎不知道AA制,只知道我们湘西当地若有人叫你去吃饭,那就意味着别人请客,所以我也没去给李老师还钱。记得晚饭到夜深才回,吃饭的地方可能是西贡。

不过这次活动让我印象最深的还是参加了本次活动的李老师的两个儿子,老二Kevin和老三Andy,差不多一个小学高年级,一个小学低年级。看起来,两人性格完全相反,Kevin活泼好动,Andy则非常安静。家属中有不少小孩,Kevin很调皮,弄得总是有别家小孩前来找李叔叔“告状”。李老师则每每要前去“警告调解”一番,场面甚是滑稽有趣。我记得当晚吃饭,李老师没有坐在主桌,而是同家属小孩还有我们年轻访学者坐在一桌,也许主要是为了镇住老二Kevin,怕他“闹事”。兄弟两很优秀,Kevin博士毕业在美国工作。Andy现还在读博,应该是理论物理方向,好像听李老师说过与量子纠缠有关。李老师很为他们骄傲。对别人,李老师总是非常宽容。但据我观察,李老师对孩子却要求很严。

三、很“李端”的动态均值-方差模型

特别说明:下述内容不是学术评价。我学识不多,所了解李端教授的研究只是他研究的某一方面,既无能力,也不应该评价老师的学术水平。我只记录一些我的见闻,少量评述也只是我个人的一些认识。

记得博士一年级下期,汪老师给我一个牛皮信封,让我复印里面装的论文并加以研读。这篇论文就是李老师2000年在Mathematical Finance发表的那篇著名的多阶段均值-方差模型的论文。论文是李老师发表后特别寄给汪老师的纸质版论文。我至今尚不知道二位老师究竟是如何认识的,但他们最初的学术生涯有一个共同领域就是多目标规划。我猜他们是因为共同的学术研究兴趣而结识的,我后来结识李老师即源于此。

我大约花了一个多月时间大致弄明白了这篇论文的思路和方法。当时的读后感是两个字“震撼”。因为论文用的知识非常多,包括金融、随机二次控制、动态规划、凸分析和多目标规划等方面的知识,其中有一个关键点非常专业(关于双目标最优决策的一个结果)。这些还不是最主要的,最主要的是那个解决不可分动态规划问题的“嵌入法”实在是太有想象力了。一个人要同时具备这么多知识甚至是智慧的储备,概率实在是太小了。

Markowitz均值-方差模型的动态版本一直没有真正出现,原因就在于该模型不满足贝尔曼最优性原理要求的可分条件,因此不能用动态规划方法加以求解。这个问题的首次解决就是把原问题嵌入到带参数的可分动态规划问题中,并与前文提到有关双目标最优决策的一个结果相结合,最后得到原问题的最优解。这个结果很“李端”,因为这些知识点好像是为他定制的,推导过程复杂且优美,实在是令人叹服。后来李老师回忆说这个问题是撞到他“枪口”上了。他早年研究随机控制,后来研究多目标不可分动态规划等,都是这篇论文的前奏基础。他说到了香港后发现学生只对金融问题感兴趣,因此自己也转向关注金融问题。这篇论文是他与一个硕士生(Ng W. L.)合作的。李老师还与周迅宇老师用同样的“嵌入法”思想,解决了连续时间动态均值-方差问题,论文也是在2000年发表。

李老师在为他65岁生日举办的学术会议上回顾了他的学术生涯。他列举了一些有代表性的研究内容和方向,还开玩笑说内容没选好恐怕会“得罪”合作者。会上有“好事者”问他认为自己哪篇论文最好。他没有回答哪篇论文最好,只是说动态均值-方差的论文影响大一些。实际上李老师最初只是把这两篇论文看成是他之前研究的应用而已。估计最初他也没有想到这两篇论文的后来的影响力。据我观察,他最初对别人对他在这方面的工作的夸赞是很谨慎的。后来,随着论文的引用增加,以及在学术圈里的影响越来越大,别人都认为他和他的合作者开创并引领了这一领域,他也欣然接受了这一评价。

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我因为一次偶然的机会,发现Mathematical Finance杂志主页上有发表于该杂志论文引用数量的排名,而李端教授发表于该刊的多阶段均值-方差模型论文名列第三。我截图发给他,他看到后很高兴,还把图片发到了学生群里。我没有见他在朋友圈里晒过与自己学术有关的信息,也很少在学生群里主动谈论学术,但这次是个少有的例外。

现在有一些其它方法用来求解动态均值-方差问题(其实我不太懂),但是我猜如果没有李老师那些量身定制的知识和绝妙的想法,动态收益-风险分析模型的研究大概率不会有那么多实质突破。

李端教授的风采将在他率先开疆拓土的动态收益-风险分析领域永远过流传!

四、合作第一篇论文

2000年,我到中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所念博士。去北京之前(录取之后),导师汪寿阳教授就写信建议我做投资组合选择方面的研究,并随信寄来了几篇这方面的论文(那时候我还没开始使用电子邮件,好像申请过163邮箱,实在太慢没法用)。我觉得很有趣,就进入了这一领域。

同样是2000年,李端教授发表了他那篇著名的多阶段均值-方差投资组合的论文。那时候不像现在这样有很多会议和电子资源,因此之前并不知道李老师的相关工作。入学后一直在读汪老师从日本带回来的论文资料中与投资组合有关的文章。刚入学时,汪老师在日本访问,其间回国一次,这些论文资料还是当时来自天津大学来的博士后林丹师兄和我从机场接机搬回去的(记得有几蛇皮口袋)。总之那时候找论文资料还是很困难的。在我博士一年级下期时,汪老师把李老师邮寄给他的论文给我们看,于是便有了下面的足以影响我的人生的故事。

现在看来,机缘巧合地读到这篇论文的确很幸运。这篇论文深深吸引了我,于是跟汪老师商量想试试这方面的研究。汪老师因此推荐我到香港中文大学李老师那里去访问学习,并请他做我的合作导师。当时在学术上对李老师的主要认识媒介,除了这篇论文,还有一篇数学与系统科学院研究院图书馆里存放的一本很厚的博士后出站报告。记得图书馆进门口有一排高高书架,这一排书架专门用来陈放博士后的出站报告,我对其中优化相关的感兴趣,所以看到一篇跟李老师工作密切有关的博士后出站报告。记不清是谁的出站报告,但印象中是计算数学所的博士后所著。其主要内容是把李老师有关P-th Power的方法数值化。P-th Power方法大概是非线性拉格朗日对偶理论在非凸规划中的应用,有助于求得最优化问题的全局最优解(其实我不大懂,理解可能有误)。李老师的工作主要是理论方面的,而这篇博士后出站报告主要是基于李老师理论工作来设计数值算法,实现具体计算。后来,我跟李老师说了这篇博士后出站报告,李老师对其内容也比较好奇。但我也就是说说,事后就忘了。当初应该把这篇论文复印给他,也许他看了可以再生起别样的学术火花。对我来说,通过这两个工作意识到李老师是位在多方面颇有建树杰出学者,因此去访问他之前既兴奋也忐忑,既期待跟他学习,又怕自己功底不深,表现不好。好在后来李老师给予了我非常具体的指导,让我收获很多。

记得作为学生去访问李老师的人,应该不多,我可能是头一二位。李老师了解我大致读懂了他的论文,便交流了一些研究想法,他还很谦虚实在地告诉我,他其实对金融相关问题了解不多。访问期间所在办公室就在他的办公室旁边,记得有交流基本都是他过来找我说。访问开始的头一星期的某天,记得他拿了一张纸,写了一个具体的问题来找我,让我试试看。问题的大意是只考虑终端目标的动态均值-方差策略在中间阶段可能面临很大的风险(Pliska教授提给他的问题)。因此应该再加上中间阶段的风险控制,并告诉我具体方法:用车贝谢夫不等式(只用到均值和方差)做风险损失的概率控制(实际上类似于VaR的控制,但那时我不知道);然后用拉格朗日方法把风险控制约束罚到目标函数中,求得放松问题的最优解;最后通过对偶搜索最优拉格朗日乘子,并利用原始-对偶迭代找到原问题的最优解。

弄明白问题后,我做模拟实验发现动态均值-方差模型的确有中间阶段风险很大的现象,而实验了一类效用函数模型却没有这种现象。所以对这个问题的确很有兴趣。当时,我并不真正理解后半部分的原始-对偶迭代。但对于第一步,模仿他的论文以葫芦画瓢,很快就做出来了。这时候,李老师拿出了他已有的一份手稿(记得应该是跟西安理工大学钱富才老师合写的,钱老师曾在西安交通大学读博士,得到了李老师的指导,他们合作控制方面的研究),其实这一步他们早就推导出来了,我想李老师应该很清楚这步比较容易,因为只是他原来论文的简单推广。只不过我用的方法比他们用的简单很多。我觉得这是李老师给我做的一个小小的“测验”。

对于原始-对偶迭代,我当时不懂。记得李老师用Latex写了一页迭代算法过程,我照着写程序,可惜发现算法不收敛。后来我改用容易上手的启发式算法——“模拟退火”算法——来计算最优对偶乘子,小规模的也能算得出来,但是的确不知道是否是真正的最优,因为没有判断标准。结果基本都有了以后,李老师让我在组会上做了个报告,那时候的报告都是用幻灯片做的,记得他很鼓励地表扬我做得很快。

得到了李老师的肯定,我的访问也到期了,我以为这个工作就算完成了,并且自我感觉非常良好。但让我意外的是李老师并没有首肯文章,交代我回去再研究原始对偶迭代的部分的算法,他认为启发式算法不够严谨。回到北京后,我继续找原始-对偶算法的文献看,那时候不像现在找文献容易,加上我对对偶问题的理解非常粗浅,很长时间没有进展。汪老师与我讨论,还特别请了院里的部分相关专业的老师开了个专门研讨会(至少记得当时有政策所做优化的黄石民老师),让我报告,请大家一起给建议。后来在老师们的指导下,我在Bazaraa和Shetty的书上找到了相关算法的基础,很快就算出来了。其实最终给出的算法与李老师当初给我的算法差异很小,我又实验了原来他给我的算法,只是把算法步长改得很小,大部分问题也都可以算出来了,而我之前一个都没算出来,主要是不理解问题的本质。原始-对偶迭代做出来后,李老师觉得不错了,论文写好后,他告诉我这是一篇“nice”论文。后来论文投到IEEE Transaction on Automatic Control 关于金融工程方面的一期特刊上,顺利发表。论文的想法和方法基本都来自于李老师,毫无疑问他应该是第一作者,但他坚持让我做第一作者。这其实是他总为别人着想的一贯行为。

通过这篇论文,我还学到了其他很多东西。最重要的是让我明白对一个问题的不断深入研究,以至于没有办法做得再好,才有可能算是一个“nice”的研究。这样的标准虽然很难,但是坚持总有收获。通过这篇论文,我对对偶理论有了较好的理解,后来做的一些研究,比如稳健投资组合都与对偶有关,我想这一段经历对我个人而言是非常宝贵的。

2003年,我以论文《多阶段投资组合选择及其风险控制》博士毕业。而这篇论文是博士论文主要内容。后来应该有不少博士论文动态收益-风险模型为题,而我的论文应该是以此为题的很靠前的几篇博士论文之一。博士论文成稿期间正好碰到“非典”,记得李老师还关切地问了我论文答辩等情况。博士毕业后,我的主要研究方向偏离了动态-均值方差模型,李老师不但没有意见,还鼓励夸我说我做研究不跟风。

回过头来看,得到李老师的教导,有很多机缘巧合,我那时候并没有意识到这些。而这些巧合肯定深深地影响了我的人生,影响最大的其实并不在学术本身。一个无知懵懂的年轻人,突然找到了方向,那种激动无法言说。而影响你,让你曾经如此激动的人们又有一种怎样的功德!理论是灰色的,而生命之树长青!

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五、同游我的家乡大湘西

2014年暑假邀李端教授同游我的家乡,留下很多美好回忆。2017年,同学们共聚青岛为李老师65岁庆生。学生们分别写了一些与他交往的点滴成册,作为礼物送给李老师。我写的就是此次湘西游(附后,一字未改)。此次生日聚会,同学们准备了其它一些特别的礼物,其中包括在斯普林格出版的一本专辑(主要由学生所写,内容与李老师相关)、杂志Risk Analysis专辑、刻有学生姓名的戒指等。以他65岁生日为机,我在杨晓光老师的帮助和指导下也为他在斯普林格出版的中国运筹学会英文会刋JORSC岀了一期以“金融优化与风险管理新挑战”为主题的专辑。学界朋友大力支持,献出高质量稿子,2018年3月出版。他收到印本后高兴地跟我说质量很高。此次生日聚会,李老师很高兴,发了朋友圈,我特别记得他还赞扬了自己的学生个个堂堂正正。但我理解这其实是他对学生的期待和要求。我私人送给他的礼物是一幅字:“李桃不言,端自成蹊”。其实这两句话的的灵感来源于有次与姚京聊天,他说李老师是育人方法是“桃李不言,下自成蹊”。我理解这句话是李老师从不说教,而是以实际行动赢得别人的敬仰,他的确如此。

忆湘西游

(2017.6.11)

2014年夏天,我邀请李老师游览我的家乡大湘西。我们花了一周时间,先后去了古丈、永顺、凤凰和张家界的多处景点。我虽是湘西人,但大多是地方也是第一次去,加之是陪同自己的恩师一同前往,自然别有一番心情。

我们分别从香港和广州坐飞机到张家界会合后的第二天便去了古丈。到达古丈的当天下午,我们游览了位于古丈县内的地质奇观红石林和坐龙峡。第三天,我们去了位于永顺县的号称“天下第一漂”的猛洞河体验漂流,下午游览了土家特色突出的芙蓉镇(该镇以前叫王村,后因在此处拍摄的电影《芙蓉镇》而更名)。第四天,我们在去凤凰的途中游览了著名的湘西苗寨德夯。到达凤凰后,发现前期水灾重创凤凰古城,到处搭满了脚手架,风景欣赏度骤减。但是我们仍然兴致高昂,首先去拜访了沈从文故居等人文景观。晚上观看了“神秘湘西”的主题演出,看了定鸡、秤杆提米坛、上刀山下火海等我小时候常听说但从未见过的真人秀节目和赶尸等舞蹈表演。第五天,游览凤凰沱江风光后,我们前往此次旅行的重头戏张家界。此后两天我们游览了杨家界、天子山、老屋场和金鞭溪等张家界著名景点。我想我们都被张家界的景色震撼了。张家界真是那种为数不多的实景不输照片的地方。

事前虽然做了较为详细的旅行计划与安排,但旅行途中还是出现了一些“意外”状况。特别是在张家界上山的那天,行李托运的师傅的疏忽,以至于李老师的手提电脑没有送达山上的酒店。虽然后来找回,但还是虚惊一场。第二天,手提电脑没敢再次托运,李老师一直将电脑背在身边。当天光是徒步金鞭溪差不多有三小时的路程。由于当时我家孩子尚小,时常背在身上,以至于没能帮李老师背电脑,心里很是过意不去。不过见到李老师在爬山涉水中身手矫健,我也就心安理得起来。

此次旅游,我拖家带口,由于湘西当地条件有限,加之我计划欠妥,对李老师照顾多有不周,但李老师并不介意,处处帮我们照看小孩,为我们拍照留念。原本计划我出费用请李老师游览湘西,但后来李老师处处抢着付钱,反成了我们的钱口袋。此前与李老师多是学术上的交流。此次旅行,我们除了学术,还讨论和经历了诸多别的事情,留给我和家人很多美好的回忆。

祝愿老师青春永驻!期待有更多机会再次与老师共同游历远行!

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后记

李端教授离开了我们,但他只是避开了纷繁陈杂的世俗物质世界,他或许需要好好地休息一下了。而在精神世界中,他却从未离开。他引导了学术,开辟了事业,鼓舞了后人。点点滴滴,无不滋润沃土,既待来日追忆,更著培育新生。

一言概之:李桃不言,端自成蹊,高山仰止,景行行止。

 

65 thoughts on “忆李端教授

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